rzutowanie z powrotem punktu 2D na linię 3D Plucker

Question

Próbuję zbudować tracker (śledzenie osobiste projektu ręcznego) iz tego powodu muszę z powrotem rzutować punkt 2d na linię 3d, używając współrzędnych Plucker. (jak śledzenie ray)

Jako dane wejściowe, mam współrzędne 2d punktu i macierzy projekcji.

Informacje w Internecie na temat współrzędnych pluckera dają przegląd tego, dlaczego są pomocne, ale nie ma papieru opisującego analitycznie powyższą procedurę. (po prostu wspominają o projekcie z powrotem do linii plucker, bez żadnego dalszego opisu)

Czy ktoś może wskazać mi właściwy kierunek?

Answer 1

Najwyraźniej nie ma za tym żadnej magii, szukałem wzoru/twierdzenia wynikającego bezpośrednio z moich "danych wejściowych" do współrzędnych pluckera, podczas gdy nie ma czegoś takiego.

jako wejścia mamy

• 2D współrzędnych (przewidywane) punkt
• macierz projekcji

Za pomocą tych parametrów, można z powrotem projekcie tego 2d wskazują na ray (linia 3D). Wszystkie punkty 3D tej linii 3D są wyświetlane w tym samym punkcie 2D. Promień domyślnie przechodzi przez środek kamery (lub centrum projekcji itp.).

Dla koniecznych równań, patrz

• Hartley/Zisserman książka @ strona 162 @ równania 6.14 LUB
• Równanie 23 ->http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FUSIELLO4/tutorial.html

Ogólna idea jest taka, że ​​w celu zdefiniuj linię, potrzebujesz 2 punktów. Wybieramy znaleźć (z równań z wyżej wymienionych źródeł)

• centrum kamery (wszystkie promienie projekcyjne przekazać domyślnie przez ten punkt)
• punktu ray @ nieskończoności (to jest ładne, ponieważ punkt w nieskończoności jest również kierunkiem wektora linii -> jest to potrzebne później do przedstawienia linii wyskoku)

(mogliśmy znaleźć centrum kamery i inny punkt arbitralny, ale wtedy potrzebowalibyśmy dodatkowy krok, aby znaleźć kierunek linii, odejmując współrzędne tych dwóch punktów.)

Podsumowując, odkryliśmy

• The centrum kamery (P)
• Kierunek (d) linii (punkt @ nieskończoności) (Punkty w nieskończoności są równoważne kierunkach)

Są one wystarczające do przedstawienia linii, ale ta reprezentacja nie jest optymalna, gdy musimy obliczyć na przykład odległości punktów 3D do tej linii w naszym algorytmie. To dlatego, po znalezieniem tej reprezentacji (nie magiczne, aby dać nam linie Plucker natychmiast), możemy zmienić nasz skład reprezentacji plucker-line-reprezentacja

linia Plucker jest kolejnym przedstawieniem linii, który musi: (punkt> w nieskończoności mamy już go !!! - -> d)

„moment” (m) linii, która jest łatwa do obliczenia z

• kierunek linii poprzednia reprezentacja:

  m = p^d (^ -> iloczyn)

Mam nadzieję, że czyści rzeczy dla każdego, kto będzie potrzebował tego w przyszłości, myślę, że to bardzo łatwa rzecz, ale na początku sprawy nie może być tak oczywistym.

W praktyce scenariusz, dlaczego należałoby użyć tej Plucker-line-reprezentacji, proszę sprawdzić

• http://files.is.tue.mpg.de/dtzionas/Hand-Object-Capture/IJCV_Hand_Object_Capture.pdf
• https://pages.iai.uni-bonn.de/gall_juergen/download/jgall_tpami09.pdf

Answer 2

Na przyszłość używając składni Matlab/Octave!

złączenia dwóch punktów o współrzędnych plucker może być wyrażona w następujący sposób

% line = point join point 
function L=join(A, B) 
L=[ 
     A(1)*B(2)-A(2)*B(1); 
     A(1)*B(3)-A(3)*B(1); 
     A(1)*B(4)-A(4)*B(1); 
     A(2)*B(3)-A(3)*B(2); 
     A(2)*B(4)-A(4)*B(2); 
     A(3)*B(4)-A(4)*B(3) 
]; 
end % function 

Są 6 różnych wartości od antysymetryczna matrycy

Lx=B*A'-A*B' 

punkt na promień backprojection może zostanie znalezione:

X=pinv(P)*x 

gdzie

x=[u v 1]' 

jest punktem piksela obrazu w miejscu (u, v), a

pinv(P) 

pseudoinverse macierzy projekcji.

Środek kamera znajduje się w przestrzeni zerowej macierzy projekcji

C=null(P); 
C=C/C(4) 

Plucker współrzędne promienia backprojection są zatem

L=join(X,C) 

Dla zainteresowanych zorientowanej rzutowej geometrii: Jeżeli znormalizujesz macierz projekcji w następujący sposób:

% Get length of principal ray 
m3n=norm(P(3,1:3)); 
% Enforce positivity of determinant 
if (det(P(:,1:3))<0) 
    m3n=-m3n; 
end % if 
% Normalize 
P=P/m3n; 

Następnie wyznacznik lewej matrycy 3x3 jest dodatni (tj. praworęcznych systemów) i L będzie wskazywać od C do X.

Answer 3

Zamieszczam to tylko ze względu na kompletność, w oparciu o kombinację niektórych rzeczy w dokumencie cytowanym w przyjętej odpowiedzi PO, odpowiedź przez @ André Aichert i opisy w p493 [1].

Poniżej znajduje się minimalnie działający przykład MATLAB do budowy linii Plucker przechodzącej przez dwa punkty A i B i obliczania jej odległości do punktu C.

A = [0 0 0]'; 
B = [0 0 5]'; 
C = [1 1 0]'; 

L = pluckerline(A,B); 

distance = compute_plucker_distance(C, L) % Will output 1.4142 

%%------------------------------------------------------------------------- 

% Comptes the Plucker line passing through points A and B 
function L = pluckerline(A, B) 
    l = (B - A)/norm(B - A); 
    m = cross(A, l); 

    L = [l ; m]; 
end 

%%------------------------------------------------------------------------- 

% Comptes the distance between the point P and Plucker line L 
function distance = compute_plucker_distance(P, L) 
    l = L(1:3); 
    m = L(4:end); 

    distance = norm(cross(P, l) - m); 
end 

[1] Sommer, Gerald, wyd. Geometric computing with Clifford algebras: theoretical foundations and applications in computer vision and robotics. Springer Science & Media biznesowe, 2013.