Krzywe Béziera, styl Loopa i Blinna

Question

Kilka dni temu zacząłem analizować efektywnie rysowanie krzywych Beziera, a natknąłem się na tę metodę opracowaną przez Charlesa Loopa i Jima Blinna, która wydawała się bardzo interesująca. Jakkolwiek, po wielu eksperymentach z ich algorytmem, po prostu nie mogę sprawić, żeby był w stanie wyrenderować sześcienne krzywe. Quadratics są w porządku, nie ma problemu.

Jedyne zasobów znalazłem do tej pory są w następujący sposób:

GPU Gems 3 Chapter 25

Curvy Blues

Resolution Independent Curve Rendering using Programmable Graphics Hardware

Aby uzyskać testowania i działa szybko, robię to w XNA. Zasadniczo przekazuję współrzędne tekstury z moimi wierzchołkami do procesora graficznego, stosuję transformację perspektywy i używam formuły wspomnianej we wszystkich artykułach w module cieniującym pikseli, aby uzyskać końcowy wynik. Jakkolwiek, problem (jak sądzę) leży w sposobie obliczania współrzędnych tekstury. Sprawdź ten kod:

public void Update() 
{ 
    float a1 = Vector3.Dot(p1, Vector3.Cross(p4, p3)); 
    float a2 = Vector3.Dot(p2, Vector3.Cross(p1, p4)); 
    float a3 = Vector3.Dot(p3, Vector3.Cross(p2, p2)); 

    float d1 = a1 - 2 * a2 + 3 * a3; 
    float d2 = -a2 + 3 * a3; 
    float d3 = 3 * a3; 

    float discr = d1 * d1 * (3 * d2 * d2 - 4 * d1 * d3); 

    if (discr > 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Serpentine; 

     float ls = 3 * d2 - (float)Math.Sqrt(9 * d2 * d2 - 12 * d1 * d3); 
     float lt = 6 * d1; 
     float ms = 3 * d2 + (float)Math.Sqrt(9 * d2 * d2 - 12 * d1 * d3); 
     float mt = 6 * d1; 

     TexCoord1 = new Vector3(ls * ms, (float)Math.Pow(ls, 3), (float)Math.Pow(ms, 3)); 
     TexCoord2 = new Vector3((3 * ls * ms - ls * mt - lt * ms)/3, ls * ls * (ls - lt), ms * ms * (ms - mt)); 
     TexCoord3 = new Vector3((lt * (mt - 2 * ms) + ls * (3 * ms - 2 * mt))/3, (float)Math.Pow(lt - ls, 2) * ls, (float)Math.Pow(mt - ms, 2) * ms); 
     TexCoord4 = new Vector3((lt - ls) * (mt - ms), -(float)Math.Pow(lt - ls, 3), -(float)Math.Pow(mt - ms, 3)); 
    } 
    else if (discr == 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Cusp; 
    } 
    else if (discr < 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Loop; 
    } 
} 

Przepraszam za bałagan, to tylko część kodu testowego. p1 ... p4 są punktami kontrolnymi w przestrzeni świata, a TexCoord1 ... TexCoord4 są odpowiednimi współrzędnymi tekstury. Jest to replikacja tego, co zostało powiedziane w artykule Gems GPU.

Jest tu kilka problemów, najpierw przy obliczaniu a3 używamy p2 dla obu parametrów, co oczywiście zawsze daje w rezultacie wektor (0,0,0), a pobranie iloczynu kropek z tego i p3 będzie zawsze daj nam 0. To bezużyteczne, więc dlaczego mieliby o tym wspomnieć w artykule?

To oczywiście spowoduje, że discr będzie niepoprawny, a my nie będziemy nawet w stanie określić, jaki to jest krzywa.

Po obejrzeniu tego kodu przez chwilę zdecydowałem, że spróbuję zrobić dokładnie to, co zrobili w artykule w Loop i Blinn. Z tego otrzymuję coś takiego:

public void Update() 
{ 
    Matrix m1 = new Matrix(
     p4.X, p4.Y, 1, 0, 
     p3.X, p3.Y, 1, 0, 
     p2.X, p2.Y, 1, 0, 
     0, 0, 0, 1); 
    Matrix m2 = new Matrix(
     p4.X, p4.Y, 1, 0, 
     p3.X, p3.Y, 1, 0, 
     p1.X, p1.Y, 1, 0, 
     0, 0, 0, 1); 
    Matrix m3 = new Matrix(
     p4.X, p4.Y, 1, 0, 
     p2.X, p2.Y, 1, 0, 
     p1.X, p1.Y, 1, 0, 
     0, 0, 0, 1); 
    Matrix m4 = new Matrix(
     p3.X, p3.Y, 1, 0, 
     p2.X, p2.Y, 1, 0, 
     p1.X, p1.Y, 1, 0, 
     0, 0, 0, 1); 

    float det1 = m1.Determinant(); 
    float det2 = -m2.Determinant(); 
    float det3 = m3.Determinant(); 
    float det4 = -m4.Determinant(); 

    float tet1 = det1 * det3 - det2 * det2; 
    float tet2 = det2 * det3 - det1 * det4; 
    float tet3 = det2 * det4 - det3 * det3; 

    float discr = 4 * tet1 * tet3 - tet2 * tet2; 

    if (discr > 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Serpentine; 

     float ls = 2 * det2; 
     float lt = det3 + (float)((1/Math.Sqrt(3)) * Math.Sqrt(3 * det3 * det3 - 4 * det2 * det4)); 
     float ms = 2 * det2; 
     float mt = det3 - (float)((1/Math.Sqrt(3)) * Math.Sqrt(3 * det3 * det3 - 4 * det2 * det4)); 

     TexCoord1 = new Vector3(lt * mt, (float)Math.Pow(lt, 3), (float)Math.Pow(mt, 3)); 
     TexCoord2 = new Vector3(-ms * lt - ls * mt, -3 * ls * lt * lt, -3 * ms * mt * mt); 
     TexCoord3 = new Vector3(ls * ms, 3 * ls * ls * lt, 3 * ms * ms * mt); 
     TexCoord4 = new Vector3(0, -ls * ls * ls, -ms * ms * ms); 
    } 
    else if (discr == 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Cusp; 
    } 
    else if (discr < 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Loop; 
    } 
} 

Zgadnij co, to też nie działa. Jak dotąd dyskrecja wydaje się teraz co najmniej bardziej poprawna. Przynajmniej ma prawidłowy znak i wynosi zero, gdy punkty kontrolne są ułożone tak, aby tworzyły wierzchołek. Nadal mam ten sam efekt wizualny, z tym że krzywa znika losowo przez pewien czas (formuła cieniowania pikseli jest zawsze większa od zera) i powraca po przesunięciu punktu kontrolnego z powrotem do bardziej kwadratowego kształtu. Oto kod cieniowania pikseli, a tak przy okazji:

PixelToFrame PixelShader(VertexToPixel PSIn) 
{ 
    PixelToFrame Output = (PixelToFrame)0; 

    if(pow(PSIn.TexCoords.x, 3) - PSIn.TexCoords.y * PSIn.TexCoords.z > 0) 
    { 
    Output.Color = float4(0,0,0,0.1); 
    } 
    else 
    { 
    Output.Color = float4(0,1,0,1); 
    } 

    return Output; 
} 

Chodzi o wszystkie przydatne informacje, które mogę teraz przeczytać. Czy ktoś ma pojęcie, co się dzieje? Ponieważ mi ich brakuje.

Answer 1

Patrzyłem na papier i twój kod, i to szwy, że brakuje mnożenia do macierzy M3.

Twoje współrzędne p1, p2, p3 i p4 powinny być umieszczone w macierzy i pomnożone przez macierz M3, przed użyciem jej do obliczenia wyznaczników. np.

Matrix M3 = Matrix(
    1, 0, 0, 0, 
    -3, 3, 0, 0, 
    3, -6, 3, 0, 
    -1, 3, -3, 1); 
Matrix B = Matrix(
    p1.X, p1.Y, 0, 1, 
    p2.X, p2.Y, 0, 1, 
    p3.X, p3.Y, 0, 1, 
    p4.X, p4.Y, 0, 1); 
Matrix C = M3*B; 

Następnie należy użyć każdego wiersza macierzy C jako współrzędnych macierzy od m1 do m4 w kodzie. Gdzie pierwsza i druga wartość wiersza są współrzędnymi x, y, a ostatnia jest współrzędną w.

Wreszcie macierz współrzędnych tekstury musi zostać zmultiplikowana przez odwrotność M3 np.

Matrix invM3 = Matrix(
    1, 0, 0, 0, 
    1, 0.3333333, 0, 0, 
    1, 0.6666667, 0.333333, 0, 
    1, 1, 1, 1); 
Matrix F = Matrix(
    TexCoord1, 
    TexCoord2, 
    TexCoord3, 
    TexCoord4); 
Matrix result = invM3*F; 

Każdy wiersz wynikowej macierzy odpowiada współrzędnym tekstury potrzebnej dla modułu cieniującego.

Nie zaimplementowałam go jeszcze, więc nie mogę zagwarantować, że rozwiąże on Twój problem. Po prostu to, co zauważyłem, brakuje w twoim wdrożeniu po przeczytaniu artykułu.

Mam nadzieję, że to pomoże, jeśli się mylę, proszę powiedz mi, bo wkrótce to wypróbuję.