Optymalizacja R z ograniczeniami równości i nierówności

Question

Próbuję znaleźć lokalne minimum funkcji, a parametry mają stałą sumę. Na przykład,

Fx = 10 - 5x1 + 2x2 - x3

i warunki są następujące

x1 + x2 + x 3 = 15

(x1 x2, x3)> = 0

Gdzie suma x1, x2 i x3 ma znaną wartość i wszystkie są większe od zera. W R, to wyglądać tak,

Fx = function(x) {10 - (5*x[1] + 2*x[2] + x[3])} 
opt = optim(c(1,1,1), Fx, method = "L-BFGS-B", lower=c(0,0,0), upper=c(15,15,15)) 

Próbowałem też użyć nierówności z constrOptim zmusić sumę naprawy. Nadal uważam, że może to być prawdopodobna praca, ale nie byłem w stanie sprawić, by działała. Jest to uproszczony przykład rzeczywistego problemu, ale wszelka pomoc byłaby bardzo doceniana.

Answer 1

Przy tej okazji optim nie będzie działać w sposób oczywisty, ponieważ masz ograniczenia równości. constrOptim nie będzie działać z tego samego powodu (próbowałem przekonwertować równość na dwie nierówności, tj. Większą i mniejszą niż 15, ale to nie zadziałało z constrOptim).

Istnieje jednak pakiet dedykowany do tego rodzaju problemów i jest to Rsolnp.

go używać w następujący sposób:

#specify your function 
opt_func <- function(x) { 
    10 - 5*x[1] + 2 * x[2] - x[3] 
} 

#specify the equality function. The number 15 (to which the function is equal) 
#is specified as an additional argument 
equal <- function(x) { 
    x[1] + x[2] + x[3] 
} 

#the optimiser - minimises by default 
solnp(c(5,5,5), #starting values (random - obviously need to be positive and sum to 15) 
     opt_func, #function to optimise 
     eqfun=equal, #equality function 
     eqB=15, #the equality constraint 
     LB=c(0,0,0), #lower bound for parameters i.e. greater than zero 
     UB=c(100,100,100)) #upper bound for parameters (I just chose 100 randomly) 

wyjściowa:

> solnp(c(5,5,5), 
+  opt_func, 
+  eqfun=equal, 
+  eqB=15, 
+  LB=c(0,0,0), 
+  UB=c(100,100,100)) 

Iter: 1 fn: -65.0000  Pars: 14.99999993134 0.00000002235 0.00000004632 
Iter: 2 fn: -65.0000  Pars: 14.999999973563 0.000000005745 0.000000020692 
solnp--> Completed in 2 iterations 
$pars 
[1] 1.500000e+01 5.745236e-09 2.069192e-08 

$convergence 
[1] 0 

$values 
[1] -10 -65 -65 

$lagrange 
    [,1] 
[1,] -5 

$hessian 
      [,1]  [,2]  [,3] 
[1,] 121313076 121313076 121313076 
[2,] 121313076 121313076 121313076 
[3,] 121313076 121313076 121313076 

$ineqx0 
NULL 

$nfuneval 
[1] 126 

$outer.iter 
[1] 2 

$elapsed 
Time difference of 0.1770101 secs 

$vscale 
[1] 6.5e+01 1.0e-08 1.0e+00 1.0e+00 1.0e+00 

Tak powstałe optymalnymi wartościami są:

$pars 
[1] 1.500000e+01 5.745236e-09 2.069192e-08 

co oznacza, że ​​pierwszy parametr jest 15 i reszta zero i zero. Jest to rzeczywiście minimum globalne w twojej funkcji, ponieważ x2 dodaje się do funkcji, a 5 * x1 ma znacznie większy (negatywny) wpływ niż x3 na wynik. Wybór 15, 0, 0 jest rozwiązaniem i globalnym minimum dla funkcji zgodnie z ograniczeniami.

Funkcja działała świetnie!

Answer 2

Jest to właściwie problem programowania liniowego, więc naturalnym podejściem byłoby użycie liniowego programatora, takiego jak pakiet lpSolve. Trzeba zapewnić obiektywną funkcję i matrycę wiązania i solver zrobi resztę:

library(lpSolve) 
mod <- lp("min", c(-5, 2, -1), matrix(c(1, 1, 1), nrow=1), "=", 15) 

Następnie można uzyskać dostęp do optymalnego rozwiązania, a wartość obiektywną (dodając stały termin 10, który nie jest dostarczany do Solver):

mod$solution 
# [1] 15 0 0 
mod$objval + 10 
# [1] -65 

liniowy solver programowanie powinno być znacznie szybciej niż ogólny nieliniowej optymalizacji solver i nie powinien mieć problemów ze zwróceniem dokładnie optymalnego rozwiązania (zamiast pobliskiego punktu, które mogą być obarczone błędami zaokrągleń).