Jak obliczyć dowolną moc/root?

Question

Mam aplikację, która musi podnieść liczbę do ułamkowej mocy. Platformą docelową jest FPGA i mogę uzyskać oszacowanie wielkości FPU, ale potrzebuję algorytmu do podniesienia liczby do ułamkowej mocy tylko dla studium wykonalności. Zakładam, że zmienna punktowa jest najgorszym przypadkiem. Oczekuję, że w praktyce będziemy mogli używać skrótów, ale na razie chcę pokazać, że najgorszy możliwy przypadek może zostać zrealizowany z naszej strony.

Myślałem, że zapytam tutaj i zobaczę, czy istnieją jakieś popularne metody, które mógłbym zrealizować. Wiem, że są na to metody programistyczne, chcę zacząć od dość skutecznego algorytmu. Martwię się o implementację FPGA.

Answer 1

Czy twój zakres wejść jest dowolny lub znany w określonym zakresie?

w obu przypadkach, x ^m = exp (m log x), więc jeśli możesz tworzyć funkcje do oceny exp (x) i log (x) i mnożyć, prawdopodobnie wszystko gotowe.

Będziesz musiał dowiedzieć się, jak chcesz obsłużyć nieprzypisane wartości x.

(wskazówka dla log (x): jeśli to IEEE-754 floating point razie potrzeby przesunąć mantysy, aż w końcu z zakresu liczb od 2 ^k i 2 ^{k + 1} dla pewnej wartości K. Pozwala to masz do czynienia z zakresem 2: 1, który nie jest zbyt trudny do przybliżenia z wielomianami, a następnie masz po prostu niewielką liczbę możliwości poradzenia sobie z wykładnikiem i liczbą przesunięć

Odpowiednia wskazówka dla wyrażenia (x): napisz x = k + b gdzie 0 < = b < 1 i k jest liczbą całkowitą, a następnie exp (x) = exp (k) * exp (b); b ma ograniczony zasięg, a k ma ograniczoną liczbę dyskretnych możliwości.)

(wskazówka 2: liczby prawdopodobnie działa się lepiej x ^m = G (mf (x)) gdzie f (x) = log X i G (x) = 2 ^x).

Answer 2

Jak powiedział Jason S, należy to zrobić przy użyciu tożsamości x ^m = exp (m log x). W praktyce jednak będziesz musiał radzić sobie z błędami obcięcia. myślę, że sposób ten jest zwykle wykonywane jest

1. Zastosowanie Tożsamość X ^m = (2 ⁿ * X/2 ⁿ) ^m = 2 ^nm * (X/2 ⁿ) ^m i znaleźć liczbę całkowitą, tak że 1 < = x/2 n < 2.
2. Oblicz t = log2 (x/2 ⁿ). Można to zrobić za pomocą wystarczająco wysokiego stopnia rozwinięcia Taylora lub za pomocą dobrego ola Newtona-Raphsona. Musisz upewnić się, że maksymalny błąd w przedziale [1, 2 [nie jest zbyt duży dla ciebie.
3. Oblicz u = nm + tm.
4. Naszym celem jest teraz obliczyć 2 ^u.Wykorzystują fakt, że 2 ^U = 2 ^V * 2 ^UV i znaleźć taki sposób, że liczba całkowita v = 0 < UV < 1.
5. Oblicz W = 2 ^UV ponownie stosując nasze przyjaciela Taylora albo Newtona -Raphson. Przedział zainteresowania wynosi 0 < = u-v < 1.
6. Twoja odpowiedź brzmi teraz 2 ^v * w.