Dlaczego otrzymuję dwa skoki częstotliwości od prostej funkcji sin przez FFT w R?

Question

Nauczyłem się o transformacji Fouriera na zajęciach z matematyki i myślałem, że ją zrozumiałem. Teraz próbuję grać z R (język statystyczny) i interpretować wyniki dyskretnej FFT w praktyce. To co mam zrobić:

x = seq(0,1,by=0.1) 
y = sin(2*pi*(x)) 

calcenergy <- function(x) Im(x) * Im(x) + Re(x) * Re(x) 

fy <- fft(y) 
plot(x, calcenergy(fy)) 

i dostać tę działkę:

Jeśli rozumiem tego prawa, to oznacza „połowę” widma gęstości energii. Ponieważ transformacja jest symetryczna, mogę po prostu odzwierciedlić wszystkie wartości do ujemnych wartości x, aby uzyskać pełne widmo.

Jednak nie rozumiem, dlaczego dostaję dwa skoki? Tutaj jest tylko jedna częstotliwość zatok. Czy to efekt aliasowania?

Ponadto, nie mam pojęcia, jak uzyskać częstotliwości z tego wątku. Załóżmy, że jednostki funkcji zatokowej były sekundami, to jest szczyt przy 1,0 w widmie gęstości 1 Hz?

Jeszcze raz: rozumiem teorię FFT; praktyczna aplikacja to problem :).

Dzięki za pomoc!

Answer 1

Dla czysto rzeczywistego sygnału wejściowego o wartości N otrzymuje się złożony wynik N punktów o zespolonej symetrii sprzężonej o N/2. Możesz zignorować punkty wyjściowe powyżej N/2, ponieważ nie dostarczają one żadnych użytecznych informacji dodatkowych dla rzeczywistego sygnału wejściowego, ale jeśli je wykreślisz, zobaczysz wspomnianą wyżej symetrię, a dla pojedynczej fali sinusoidalnej zobaczysz szczyty na pojemnikach n i N - n. (Uwaga: możesz myśleć o górnych pojemnikach N/2 jako o reprezentujących ujemnych częstotliwościach.) Podsumowując, dla rzeczywistego sygnału wejściowego N punktów, otrzymasz N/2 użytecznych złożonych pojemników wyjściowych z FFT, które reprezentują częstotliwości od DC (0 Hz) do Nyquist (Fs/2).

Answer 2

Aby uzyskać częstotliwości z wyniku FFT, należy znać częstotliwość próbkowania danych wprowadzonych do FFT i długość FFT. Częstotliwość środkowa każdego z pojemników to wskaźnik bin pomnożony przez częstotliwość próbkowania podzieloną przez długość FFT. W ten sposób otrzymasz częstotliwości od DC (0 Hz) do Fs/2 w połowie pojemnika.

Druga połowa wyników FFT to tylko złożone sprzężenia pierwszego dla rzeczywistych danych wejściowych. Powodem jest to, że wyimaginowane części złożonych koniugatów ulegają anulowaniu, co jest wymagane do przedstawienia zsumowanego wyniku z zerową wyimaginowaną treścią, np. ściśle rzeczywisty.