Poszukujesz Minimum Volume Enclosing Ellipsoid, lub w przypadku 2D, minimalnego obszaru. Ten problem optymalizacji jest wypukły i można go skutecznie rozwiązać. Sprawdź kod MATLAB w łączu, który zawarłem - implementacja jest trywialna i nie wymaga niczego bardziej skomplikowanego niż inwersja macierzowa.
Osoby zainteresowane matematyką powinny przeczytać this document.
Wykreślanie elipsy jest również proste - można je znaleźć pod numerem here, ale do wygenerowania punktów na elipsie potrzebna jest funkcja specyficzna dla MATLAB.
Ale ponieważ algorytm zwraca równanie elipsy w postaci macierzowej,
matrix form http://mathurl.com/yz7flxe.png
można użyć tego kodu, aby zobaczyć, jak można przekształcić równanie do postaci kanonicznej,
canonical http://mathurl.com/y86tlbw.png
przy użyciu Singular Value Decomposition (SVD). A następnie łatwo jest wykreślić elipsę za pomocą canonical form.
Oto wynik kodu MATLAB na zestawie 10 losowych punktów 2D (niebieski).
Inne metody, takie jak PCA nie gwarantuje, że elipsa otrzymano z rozkładem (eigen/wartość liczby pojedynczej) będzie minimalna elipsy ograniczającej od punktów na zewnątrz tej elipsy jest wskazanie wariancji.
EDIT:
Więc jeśli ktoś przeczytać dokument, istnieją dwa sposoby, aby przejść na ten temat w 2D: oto pseudokod optymalnego algorytmu - algorytm suboptimal jest jasno wyjaśnione w dokumencie:
Optymalny algorytm:
Input: A 2x10 matrix P storing 10 2D points
and tolerance = tolerance for error.
Output: The equation of the ellipse in the matrix form,
i.e. a 2x2 matrix A and a 2x1 vector C representing
the center of the ellipse.
// Dimension of the points
d = 2;
// Number of points
N = 10;
// Add a row of 1s to the 2xN matrix P - so Q is 3xN now.
Q = [P;ones(1,N)]
// Initialize
count = 1;
err = 1;
//u is an Nx1 vector where each element is 1/N
u = (1/N) * ones(N,1)
// Khachiyan Algorithm
while err > tolerance
{
// Matrix multiplication:
// diag(u) : if u is a vector, places the elements of u
// in the diagonal of an NxN matrix of zeros
X = Q*diag(u)*Q'; // Q' - transpose of Q
// inv(X) returns the matrix inverse of X
// diag(M) when M is a matrix returns the diagonal vector of M
M = diag(Q' * inv(X) * Q); // Q' - transpose of Q
// Find the value and location of the maximum element in the vector M
maximum = max(M);
j = find_maximum_value_location(M);
// Calculate the step size for the ascent
step_size = (maximum - d -1)/((d+1)*(maximum-1));
// Calculate the new_u:
// Take the vector u, and multiply all the elements in it by (1-step_size)
new_u = (1 - step_size)*u ;
// Increment the jth element of new_u by step_size
new_u(j) = new_u(j) + step_size;
// Store the error by taking finding the square root of the SSD
// between new_u and u
// The SSD or sum-of-square-differences, takes two vectors
// of the same size, creates a new vector by finding the
// difference between corresponding elements, squaring
// each difference and adding them all together.
// So if the vectors were: a = [1 2 3] and b = [5 4 6], then:
// SSD = (1-5)^2 + (2-4)^2 + (3-6)^2;
// And the norm(a-b) = sqrt(SSD);
err = norm(new_u - u);
// Increment count and replace u
count = count + 1;
u = new_u;
}
// Put the elements of the vector u into the diagonal of a matrix
// U with the rest of the elements as 0
U = diag(u);
// Compute the A-matrix
A = (1/d) * inv(P * U * P' - (P * u)*(P*u)');
// And the center,
c = P * u;
drumroll ... i pytanie brzmi? – ChssPly76
to jest to, co pochodzi z pisania pytań o 3.44 rano! Czy wierzysz, że odrabiam pracę domową o tej porze i nie ma jej nawet jutro? Co uniwersytet zrobił dla mnie !? ;) – Martin
Wow ... robicie fajne rzeczy. Chyba że brakuje mi tego oczywistego, to nie jest banalne ... – mjv