Wykrywanie zbieżna podzbiór dwóch zbieżnych odcinków

Question

To pytanie jest związane z:

• How do I determine the intersection point of two lines in GDI+? (wielki wyjaśnienie algebry, ale bez kodu)
• How do you detect where two line segments intersect? (przyjęta odpowiedź faktycznie nie pracują)

Należy jednak zauważyć, że interesujący problem podrzędny jest całkowicie pomijany w większości rozwiązań, które zwracają wartość zerową dla przypadku zbieżności, mimo że istnieją trzy podsegmenty:

• zbieżna, ale nie pokrywają
• dotykania tylko punkty i zbieżnej
• pokrycia/zbieżna linii sub-segmentów

Na przykład możemy zaprojektować funkcję C# tak:

public static PointF[] Intersection(PointF a1, PointF a2, PointF b1, PointF b2) 

gdzie (a1, a2) to jeden segment linii, a (b1, b2) to inny.

Ta funkcja będzie musiała obejmować wszystkie dziwne przypadki, w których większość implementacji lub objaśnień będzie miała połysk. W celu uwzględnienia tej tajemniczości o zbieżnych linii, funkcja może powrócić tablicę PointF to:

• zero punktów wynik (lub NULL), gdy linie są równoległe lub nie przecinają (nieskończone linie przecinają ale odcinki są rozłączne lub linie równolegle)
• jeden punkt wynik (zawierającym miejsce przecięcia) jeśli nie przecinają lub jeśli są pokrywa w jednym punkcie
• dwa punkty (wynik dla nakładających część odcinków) jeśli dwie linie są zbieżna

Answer 1

Wygląda na to, że masz rozwiązanie, które jest wspaniałe. Mam kilka sugestii, jak to poprawić.

Ta metoda ma poważny problem z użytecznością, ponieważ bardzo mylące jest zrozumienie (1), co oznaczają parametry i (2) jakie są wyniki wychodzące. Obie są małymi zagadkami, które musisz wymyślić, jeśli chcesz zastosować tę metodę.

Byłbym bardziej skłonny do korzystania z systemu typu, aby uczynić go bardziej zrozumiałym, co robi ta metoda.

Zacznę od zdefiniowania typu - może to być struktura, szczególnie jeśli będzie niezmienna - zwana LineSegment. LineSegment składa się z dwóch struktur PointF reprezentujących punkt końcowy.

Po drugie, zdefiniowałbym abstrakcyjny typ bazy "Locus" i pochodne typy EmptyLocus, PointLocus, LineSegmentLocus i być może UnionLocus, jeśli potrzebujesz reprezentować locus będący połączeniem dwóch lub więcej loci. Puste miejsce jest po prostu pojedynczym, punktowe miejsce to tylko jeden punkt, i tak dalej.

Teraz twój podpis metoda staje się znacznie bardziej jasne:

static Locus Intersect(LineSegment l1, LineSegment l2) 

Metoda ta przyjmuje dwa segmenty linii i oblicza miejsce geometryczne punktów, które jest ich skrzyżowanie - albo pusty, pojedynczy punkt lub segment linii.

Należy zauważyć, że można następnie uogólnić tę metodę. Obliczanie przecięcia odcinka linii z odcinkiem linii jest trudne, ale obliczenie przecięcia segmentu linii z punktem, punktem z punktem lub czymkolwiek z pustym miejscem jest następujące: easy. I nie jest trudno rozszerzyć przecięcie na dowolne związki loci. W związku z tym, można rzeczywiście napisać:

static Locus Intersect(Locus l1, Locus l2) 

I hej, teraz staje się jasne, że Przecięcie może być metoda rozszerzenie na locus:

static Locus Intersect(this Locus l1, Locus l2) 

Dodaj niejawna konwersja z PointF do PointLocus i odcinek do LineSegmentLocus i można powiedzieć takie rzeczy, jak:

var point = new PointF(whatever); 
var lineseg = new LineSegment(somepoint, someotherpoint); 
var intersection = lineseg.Intersect(point); 
if (intersection is EmptyLocus) ... 

Użycie systemu typów może znacznie zwiększyć czytelność programu.

Answer 2

// port of this JavaScript code with some changes: 
    // http://www.kevlindev.com/gui/math/intersection/Intersection.js 
    // found here: 
    // http://stackoverflow.com/questions/563198/how-do-you-detect-where-two-line-segments-intersect/563240#563240 

public class Intersector 
{ 
    static double MyEpsilon = 0.00001; 

    private static float[] OverlapIntervals(float ub1, float ub2) 
    { 
     float l = Math.Min(ub1, ub2); 
     float r = Math.Max(ub1, ub2); 
     float A = Math.Max(0, l); 
     float B = Math.Min(1, r); 
     if (A > B) // no intersection 
      return new float[] { }; 
     else if (A == B) 
      return new float[] { A }; 
     else // if (A < B) 
      return new float[] { A, B }; 
    } 

    // IMPORTANT: a1 and a2 cannot be the same, e.g. a1--a2 is a true segment, not a point 
    // b1/b2 may be the same (b1--b2 is a point) 
    private static PointF[] OneD_Intersection(PointF a1, PointF a2, PointF b1, PointF b2) 
    { 
     //float ua1 = 0.0f; // by definition 
     //float ua2 = 1.0f; // by definition 
     float ub1, ub2; 

     float denomx = a2.X - a1.X; 
     float denomy = a2.Y - a1.Y; 

     if (Math.Abs(denomx) > Math.Abs(denomy)) 
     { 
      ub1 = (b1.X - a1.X)/denomx; 
      ub2 = (b2.X - a1.X)/denomx; 
     } 
     else 
     { 
      ub1 = (b1.Y - a1.Y)/denomy; 
      ub2 = (b2.Y - a1.Y)/denomy; 
     } 

     List<PointF> ret = new List<PointF>(); 
     float[] interval = OverlapIntervals(ub1, ub2); 
     foreach (float f in interval) 
     { 
      float x = a2.X * f + a1.X * (1.0f - f); 
      float y = a2.Y * f + a1.Y * (1.0f - f); 
      PointF p = new PointF(x, y); 
      ret.Add(p); 
     } 
     return ret.ToArray(); 
    } 

    private static bool PointOnLine(PointF p, PointF a1, PointF a2) 
    { 
     float dummyU = 0.0f; 
     double d = DistFromSeg(p, a1, a2, MyEpsilon, ref dummyU); 
     return d < MyEpsilon; 
    } 

    private static double DistFromSeg(PointF p, PointF q0, PointF q1, double radius, ref float u) 
    { 
     // formula here: 
     //http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html 
     // where x0,y0 = p 
     //  x1,y1 = q0 
     //  x2,y2 = q1 
     double dx21 = q1.X - q0.X; 
     double dy21 = q1.Y - q0.Y; 
     double dx10 = q0.X - p.X; 
     double dy10 = q0.Y - p.Y; 
     double segLength = Math.Sqrt(dx21 * dx21 + dy21 * dy21); 
     if (segLength < MyEpsilon) 
      throw new Exception("Expected line segment, not point."); 
     double num = Math.Abs(dx21 * dy10 - dx10 * dy21); 
     double d = num/segLength; 
     return d; 
    } 

    // this is the general case. Really really general 
    public static PointF[] Intersection(PointF a1, PointF a2, PointF b1, PointF b2) 
    { 
     if (a1.Equals(a2) && b1.Equals(b2)) 
     { 
      // both "segments" are points, return either point 
      if (a1.Equals(b1)) 
       return new PointF[] { a1 }; 
      else // both "segments" are different points, return empty set 
       return new PointF[] { }; 
     } 
     else if (b1.Equals(b2)) // b is a point, a is a segment 
     { 
      if (PointOnLine(b1, a1, a2)) 
       return new PointF[] { b1 }; 
      else 
       return new PointF[] { }; 
     } 
     else if (a1.Equals(a2)) // a is a point, b is a segment 
     { 
      if (PointOnLine(a1, b1, b2)) 
       return new PointF[] { a1 }; 
      else 
       return new PointF[] { }; 
     } 

     // at this point we know both a and b are actual segments 

     float ua_t = (b2.X - b1.X) * (a1.Y - b1.Y) - (b2.Y - b1.Y) * (a1.X - b1.X); 
     float ub_t = (a2.X - a1.X) * (a1.Y - b1.Y) - (a2.Y - a1.Y) * (a1.X - b1.X); 
     float u_b = (b2.Y - b1.Y) * (a2.X - a1.X) - (b2.X - b1.X) * (a2.Y - a1.Y); 

     // Infinite lines intersect somewhere 
     if (!(-MyEpsilon < u_b && u_b < MyEpsilon)) // e.g. u_b != 0.0 
     { 
      float ua = ua_t/u_b; 
      float ub = ub_t/u_b; 
      if (0.0f <= ua && ua <= 1.0f && 0.0f <= ub && ub <= 1.0f) 
      { 
       // Intersection 
       return new PointF[] { 
        new PointF(a1.X + ua * (a2.X - a1.X), 
         a1.Y + ua * (a2.Y - a1.Y)) }; 
      } 
      else 
      { 
       // No Intersection 
       return new PointF[] { }; 
      } 
     } 
     else // lines (not just segments) are parallel or the same line 
     { 
      // Coincident 
      // find the common overlapping section of the lines 
      // first find the distance (squared) from one point (a1) to each point 
      if ((-MyEpsilon < ua_t && ua_t < MyEpsilon) 
       || (-MyEpsilon < ub_t && ub_t < MyEpsilon)) 
      { 
       if (a1.Equals(a2)) // danger! 
        return OneD_Intersection(b1, b2, a1, a2); 
       else // safe 
        return OneD_Intersection(a1, a2, b1, b2); 
      } 
      else 
      { 
       // Parallel 
       return new PointF[] { }; 
      } 
     } 
    } 


} 

Oto kod testu:

public class IntersectTest 
    { 
     public static void PrintPoints(PointF[] pf) 
     { 
      if (pf == null || pf.Length < 1) 
       System.Console.WriteLine("Doesn't intersect"); 
      else if (pf.Length == 1) 
      { 
       System.Console.WriteLine(pf[0]); 
      } 
      else if (pf.Length == 2) 
      { 
       System.Console.WriteLine(pf[0] + " -- " + pf[1]); 
      } 
     } 

     public static void TestIntersect(PointF a1, PointF a2, PointF b1, PointF b2) 
     { 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine("Does  " + a1 + " -- " + a2); 
      System.Console.WriteLine("intersect " + b1 + " -- " + b2 + " and if so, where?"); 
      System.Console.WriteLine(""); 
      PointF[] result = Intersect.Intersection(a1, a2, b1, b2); 
      PrintPoints(result); 
     } 

     public static void Main() 
     { 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine("line segments intersect"); 
      TestIntersect(new PointF(0, 0), 
          new PointF(100, 100), 
          new PointF(100, 0), 
          new PointF(0, 100)); 
      TestIntersect(new PointF(5, 17), 
          new PointF(100, 100), 
          new PointF(100, 29), 
          new PointF(8, 100)); 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine(""); 

      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine("just touching points and lines cross"); 
      TestIntersect(new PointF(0, 0), 
          new PointF(25, 25), 
          new PointF(25, 25), 
          new PointF(100, 75)); 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine(""); 

      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine("parallel"); 
      TestIntersect(new PointF(0, 0), 
          new PointF(0, 100), 
          new PointF(100, 0), 
          new PointF(100, 100)); 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine(""); 

      System.Console.WriteLine("----"); 
      System.Console.WriteLine("lines cross but segments don't intersect"); 
      TestIntersect(new PointF(50, 50), 
          new PointF(100, 100), 
          new PointF(0, 25), 
          new PointF(25, 0)); 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine(""); 

      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine("coincident but do not overlap!"); 
      TestIntersect(new PointF(0, 0), 
          new PointF(25, 25), 
          new PointF(75, 75), 
          new PointF(100, 100)); 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine(""); 

      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine("touching points and coincident!"); 
      TestIntersect(new PointF(0, 0), 
          new PointF(25, 25), 
          new PointF(25, 25), 
          new PointF(100, 100)); 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine(""); 

      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine("overlap/coincident"); 
      TestIntersect(new PointF(0, 0), 
          new PointF(75, 75), 
          new PointF(25, 25), 
          new PointF(100, 100)); 
      TestIntersect(new PointF(0, 0), 
          new PointF(100, 100), 
          new PointF(0, 0), 
          new PointF(100, 100)); 
      System.Console.WriteLine("----------------------------------------------------------"); 
      System.Console.WriteLine(""); 

      while (!System.Console.KeyAvailable) { } 
     } 

    } 

i tu jest wyjście:

 
---------------------------------------------------------- 
line segments intersect 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=0, Y=0} -- {X=100, Y=100} 
intersect {X=100, Y=0} -- {X=0, Y=100} and if so, where? 

{X=50, Y=50} 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=5, Y=17} -- {X=100, Y=100} 
intersect {X=100, Y=29} -- {X=8, Y=100} and if so, where? 

{X=56.85001, Y=62.30054} 
---------------------------------------------------------- 

---------------------------------------------------------- 
just touching points and lines cross 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=0, Y=0} -- {X=25, Y=25} 
intersect {X=25, Y=25} -- {X=100, Y=75} and if so, where? 

{X=25, Y=25} 
---------------------------------------------------------- 

---------------------------------------------------------- 
parallel 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=0, Y=0} -- {X=0, Y=100} 
intersect {X=100, Y=0} -- {X=100, Y=100} and if so, where? 

Doesn't intersect 
---------------------------------------------------------- 

---- 
lines cross but segments don't intersect 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=50, Y=50} -- {X=100, Y=100} 
intersect {X=0, Y=25} -- {X=25, Y=0} and if so, where? 

Doesn't intersect 
---------------------------------------------------------- 

---------------------------------------------------------- 
coincident but do not overlap! 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=0, Y=0} -- {X=25, Y=25} 
intersect {X=75, Y=75} -- {X=100, Y=100} and if so, where? 

Doesn't intersect 
---------------------------------------------------------- 

---------------------------------------------------------- 
touching points and coincident! 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=0, Y=0} -- {X=25, Y=25} 
intersect {X=25, Y=25} -- {X=100, Y=100} and if so, where? 

{X=25, Y=25} 
---------------------------------------------------------- 

---------------------------------------------------------- 
overlap/coincident 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=0, Y=0} -- {X=75, Y=75} 
intersect {X=25, Y=25} -- {X=100, Y=100} and if so, where? 

{X=25, Y=25} -- {X=75, Y=75} 
---------------------------------------------------------- 
Does  {X=0, Y=0} -- {X=100, Y=100} 
intersect {X=0, Y=0} -- {X=100, Y=100} and if so, where? 

{X=0, Y=0} -- {X=100, Y=100} 
---------------------------------------------------------- 

Answer 3

To naprawdę bardzo proste. Jeśli masz dwie linie, możesz znaleźć dwa równania w postaci y = mx + b. Na przykład:

y = 2x + 5 
y = x - 3 

Tak, te dwie linie przecinają gdy y1 = y2 na tych samych współrzędnych x, więc ...

2x + 5 = x - 3 
x + 5 = -3 
x = -8 

Gdy x = y1 = y2 -8 i znalezieniu punkt przecięcia. To powinno być bardzo trywialne, aby przetłumaczyć je na kod. Jeśli nie ma punktu przecięcia niż nachylenie, każda linia będzie równa, w takim przypadku nie trzeba wykonywać obliczeń.

Answer 4

@Jared, świetne pytanie i wspaniała odpowiedź.

Problem można uprościć, przedstawiając pozycję punktu wzdłuż linii jako funkcję pojedynczego parametru, jak wyjaśniono w artykule CGA FAQ Josepha O 'Rourke'a here.

Niech R parametr wskazuje wartości p położenia wzdłuż linii zawierającej AB o następującym znaczeniu:

 r=0  P = A 
     r=1  P = B 
     r<0  P is on the backward extension of AB 
     r>1  P is on the forward extension of AB 
     0<r<1 P is interior to AB 

myślenia wzdłuż tych linii, dla każdego punktu C (CX, CY) obliczamy r w następujący sposób:

double deltax = bx - ax; 
double deltay = by - ay; 
double l2 = deltax * deltax + deltay * deltay; 
double r = (ay - cy) * (ay - by) - (ax - cx) * (bx - ax)/l2; 

Powinno to ułatwić obliczanie pokrywającego się segmentu.

Należy pamiętać, że nie należy brać pierwiastków kwadratowych, ponieważ wymagany jest tylko kwadrat długości.