Jak przekształcić wielomian do innego układu współrzędnych?

Question

Stosując assorted matematyki matrycy, już rozwiązania układu równań wynikających współczynników dla wielomianu stopnia „n”

Ax^(n-1) + Bx^(n-2) + ... + Z 

Następnie evaulate wielomianu w danym zakresie x zasadniczo ja czyniącą krzywa wielomianowa. Teraz jest haczyk. Wykonałem tę pracę w jednym układzie współrzędnych, który nazwiemy "przestrzenią danych". Teraz muszę przedstawić tę samą krzywą w innej przestrzeni współrzędnych. Łatwo jest przekształcić wejście/wyjście do iz współrzędnych przestrzeni, ale użytkownik końcowy jest zainteresowany tylko współczynnikami [A, B, ...., Z], ponieważ mogą zrekonstruować wielomian na własną rękę. Jak mogę przedstawić drugi zestaw współczynników [A ', B', ...., Z '], które reprezentują tę samą krzywą kształtową w innym układzie współrzędnych.

Jeśli to pomaga, pracuję w przestrzeni 2D. Zwykłe stare xy i y. Wydaje mi się, że może się to wiązać z pomnożeniem współczynników przez macierz transformacji? Czy niektóre z nich uwzględniałyby współczynnik skali/tłumaczenia pomiędzy układami współrzędnych? Czy byłby to odwrotność tej matrycy? Czuję, że zmierzam we właściwym kierunku ...

Aktualizacja: układy współrzędnych są liniowo powiązane. Czy byłyby przydatne informacje?

Answer 1

Oświadczenie problem jest nieco niejasne, więc najpierw wyjaśni moja własna interpretacja nim:

Masz funkcji wielomianowej

f (x) = C _n x ⁿ + C _n-1 x ^n-1 + ... + C

[zmienione A, B, ... Z do C _n C n-1, ..., C łatwiej pracować z Algebra liniowej poniżej].

Wtedy też mają transformacji, takich jak:   z = ax + b   który chcesz użyć, aby znaleźć współczynniki dla samym wielomianu, ale pod względem z:

f (z) = D _n z ⁿ + D _n-1 z ^n-1 + ... + D

Można to wykonać bardzo łatwo w pewnej liniowej Algebra.W szczególności, można zdefiniować (n + 1) × (n + 1) macierz T który pozwala nam na mnożenie osnowę

  d = T * C,

gdzie d jest wektorem kolumnie z górnym wejściem d do ostatniej pozycji d _n kolumna wektor C jest podobny do C _I współczynników i macierz T zawiera (i, j) -tego [i ^p rzędu, J ^p kolumny] wejścia t _ij podaje

  t _ij = (j wybrać i) ⁱb ^j-i.

Gdzie (j wybrać i) jest Symbol Newtona, i = 0, gdy i>j. Ponadto, w przeciwieństwie do standardowych macierzy, myślę, że i, j każdy z zakresów od 0 do n (zwykle zaczynasz od 1).

Jest to zasadniczo dobry sposób na wypisanie rozszerzenia i ponownej kompresji wielomianu po ręcznym podłączeniu z = ax + b i użyciu binomial theorem.

Answer 2

Masz równanie:

y = Ax^(n-1) + Bx^(n-2) + ... + Z 

XY przestrzeni, i chcesz go w jakiś x'y”przestrzeni. Potrzebne są funkcje transformacji f (x) = x 'i g (y) = y' (lub h (x ') = x oraz j (y') = y). W pierwszym przypadku musisz rozwiązać x i rozwiązać dla y. Gdy już masz x i y, możesz zastąpić te wyniki oryginalnym równaniem i rozwiązać dla y.

To, czy jest to trywialne, zależy od złożoności funkcji używanych do przekształcania z jednej przestrzeni na drugą. Na przykład, równania, takich jak:

5x = x' and 10y = y' 

są niezwykle łatwe do rozwiązania dla wyniku

y' = 2Ax'^(n-1) + 2Bx'^(n-2) + ... + 10Z 

Answer 3

Jeśli przestrzenie wejściowe są liniowo zależne, to tak, matryca powinna być w stanie przekształcić jeden zestaw współczynniki do innego.Na przykład, jeśli miał swój wielomian w "oryginalnej" x-space:

ax^3 + bx^2 + cx + d

i chciał przekształcić w inną wagowo-przestrzeni, gdzie w = px + q

następnie znaleźć a 'b', C 'i d', tak że

ax^3^2 + bx + cx + d = a'w^3 + b” w^2 + c'w + d”

i pewnego algebraiczną

a'w^3 + b'w^2 + c'w + d '= a p^3x^3 + 3a'p^2qx^2 + 3a'pq^2x + a'q^3 + b' P^^ 2 + 2x + b'q 2b'pqx^2 + c'px + c'q + d '

zatem

a = a'p^3

b = 3a' P^2q + b'p^2

C = 3a'pq^2 + 2b'pq + c'p

a'q d = ​​+ b'q^3^2 + + c'q d '

które można przepisać jako macierzowy problem s olved.

Answer 4

Jeśli dobrze rozumiem twoje pytanie, nie ma gwarancji, że funkcja zmieni się na wielomian po zmianie współrzędnych. Na przykład, niech y = x^2, a nowy układ współrzędnych x '= y, y' = x. Teraz równanie staje się y '= sqrt (x'), które nie jest wielomianem.

Answer 5

Odpowiedź Tylera jest właściwą odpowiedzią, jeśli musisz obliczać tę zmianę zmiennej z = ax + b wiele razy (co oznacza dla wielu różnych wielomianów). Z drugiej strony, jeśli musisz zrobić to tylko raz, znacznie szybciej jest połączyć obliczenia współczynników macierzy z końcową oceną. Najlepszym sposobem, aby to zrobić jest symbolicznie ocenić wielomianu w punkcie (ax + b) Schemat Hornera:

• przechowywanych współczynników wielomianu w wektorze V (na początku, wszystkie współczynniki są równe zero), oraz dla i = n do 0 mnoży się przez (ax + b) i dodaje C _i.
• dodając C _{: i} środki dodawania do ciągłej perspektywie
• mnożenie przez (ax + b) oznacza mnożenie wszystkich współczynników przez B do wektora K pomnożenie wszystkich współczynników przez A i przeniesienie ich z dala od ciąg dalszy do wektora K i ponowne umieszczenie K + K z powrotem na V.

Będzie to łatwiejsze do zaprogramowania i szybsze do obliczenia.

Zauważ, że zmiana y na w = cy + d jest naprawdę łatwa. Na koniec, jak podkreśla mattur, ogólna zmiana współrzędnych nie da wielomianu.

Uwaga techniczna: jeśli nadal chcesz obliczyć macierzy T (jak zdefiniowano przez Tyler), należy obliczyć je za pomocą ważonej wersję reguły Pascala (to właśnie obliczenia Hörner robi implicitely):

t _{i, j} = bt _{i, j-1} + w _{I-1, J-1}

ten sposób można obliczyć po prostu, kolumna po kolumnie, od lewej do prawej.