Kombinacje trzech liczb dodatnich x, y, z tak, że x + y, x-y, y + z, y-z, x + z i x-z są idealnymi kwadratami

Question

Dzień dobry, jestem tu nowy i Przynoszę mały problem. Mam problem z opracowaniem wydajnego algorytmu dla następującego problemu: Muszę znaleźć kombinacje trzech liczb dodatnich x, yiz, aby x + y, x-y, y + z, y-z, x + z i x - z są idealnymi kwadratami. Problem polega na opracowaniu algorytmu, który znajdzie wszystkie kombinacje x, yiz od 1 i 2 000 000.

Obecnie używam for w ramach for, który z pewnością nie skończy się, zanim będę mieć moje wnuki.

Answer 1

Podstawową ideą na początku zmiany, takie jak:

u = x + y 
v = x - y 
w = y + z 

to x + y, X - Y, Y + Z, Y - x + z oraz x - z staje

u, v, w, u - v - w, v + w, u - w [all have to be squares] 

Następnie z innym substytucji, U = a², V = b², w = c² dostaniesz:

a², b², c², a² - b² - c², b² + c², a² - c² [all have to be squares] 

teraz można wyliczyć wszystkich a, b, cS, który może już być szybki e nough.

Dalszymi pomysłami może być wyliczenie wszystkich b², c², b² + c² przy użyciu Pythagorean triples (poprzez podstawienie go do m i n, wyliczenie wszystkich koprime (m, n), a następnie użycie formuły Euclid), a następnie znalezienie dla danego (b, c) podobnie jak w podobny sposób (np. zmień a² - c² = x² na a² = x ² + c ² i ponownie użyj trójek).

Answer 2

Rozszerzanie BeniBela's answer,

x + y = (x - z) + (y + z) 
x + y = (x + z) + (y - z) 

Więc trojaczki są ważne tylko, jeżeli przeciwprostokątna można przedstawić w dwóch różnych formach. Dalsze filtrowanie można wykonać, obserwując, że (x - z) i (x + z) również tworzą przeciwprostokątną triolę pitagorejską.