znajdź minimum funkcji zdefiniowanej przez integrację w Mathematica

Question

Muszę znaleźć minimum funkcji f (t) = int g (t, x) dx powyżej [0,1]. Co zrobiłem w Mathematica jest następujący:

f[t_] = NIntegrate[g[t,x],{x,-1,1}] 
FindMinimum[f[t],{t,t0}] 

Jednak Mathematica zatrzymuje przy pierwszej próbie, bo NIntegrate nie działa z symbolicznego t. Do oceny potrzebna jest określona wartość. Chociaż działka [f [t], {t, 0,1}] działa perferctly, FindMinimum zatrzymuje się w punkcie początkowym.

nie mogę wymienić NIntegrate przez Zintegruj, ponieważ funkcja g jest nieco skomplikowany i jeśli wpiszesz Integracja, Mathematica prostu biec ...

sposób uzyskać wokół niego? Dzięki!

Answer 1

Spróbuj tego:

In[58]:= g[t_, x_] := t^3 - t + x^2 

In[59]:= f[t_?NumericQ] := NIntegrate[g[t, x], {x, -1, 1}] 

In[60]:= FindMinimum[f[t], {t, 1}] 

Out[60]= {-0.103134, {t -> 0.57735}} 

In[61]:= Plot[f[t], {t, 0, 1}] 

Dwie istotne zmiany zrobiłem do kodu:

1. Definiowanie fz := zamiast z =. To faktycznie daje definicję f "później", gdy użytkownik f podał wartości argumentów. Zobacz SetDelayed.

2. Zdefiniuj f za pomocą t_?NumericQ zamiast t_. Oznacza to, że t może być dowolnym numerem (Pi, 7, 0 itd.). Ale nie cokolwiek nieliczbowego (t, x, "foo", itp.).

Answer 2

Uncja analizy ...

można uzyskać dokładny odpowiedź i całkowicie unikać podnoszenia ciężkich integracji numerycznej, tak długo, jak Mathematica może zrobić symboliczne integracji G [t, x] wrt x, a następnie symboliczne wrt t. Mniej trywialne przykład z bardziej skomplikowanym G [t, X], w tym produktów wielomian X i T:

g[t_, x_] := t^2 + (7*t*x - (x^3)/13)^2; 
xMax = 1; xMin = -1; f[t_?NumericQ] := NIntegrate[g[t, x], {x, xMin, xMax}]; 
tMin = 0; tMax = 1;Plot[f[t], {t, tMin, tMax}]; 
tNumericAtMin = t /. FindMinimum[f[t], {t, tMax}][[2]]; 
dig[t_, x_] := D[Integrate[g[t, x], x], t]; 
Print["Differentiated integral is ", dig[t, x]]; 
digAtXMax = dig[t, x] /. x -> xMax; digAtXMin = dig[t, x] /. x -> xMin; 
tSymbolicAtMin = Resolve[digAtXMax - digAtXMin == 0 && tMin ≤ t ≤ tMax, {t}]; 
Print["Exact: ", tSymbolicAtMin[[2]]]; 
Print["Numeric: ", tNumericAtMin]; 
Print["Difference: ", tSymbolicAtMin [[2]] - tNumericAtMin // N]; 

w wyniku:

⁃Graphics⁃ 
Differentiated integral is 2 t x + 98 t x^3/3 - 14 x^5/65 
Exact: 21/3380 
Numeric: 0.00621302 
Difference: -3.01143 x 10^-9 

Answer 3

minimum funkcji może być jedynie w zerowym punkty jego pochodnej, więc po co w ogóle integrować?

• Można użyć FindRoot lub Solve znaleźć korzenie g
• Następnie można sprawdzić, czy punkty są naprawdę lokalne minima, sprawdzając pochodne g (powinien być dodatni w tym punkcie).
• Następnie można NIntegrate znaleźć minimalną wartość f - tylko jedną integrację numeryczną!