Równość funkcji w Haskell

Question

Próbuję zdefiniować funkcję, która miałaby funkcję Double -> Double i zwrócić jej pochodną matematyczną. Próbowałem w następujący sposób:

der :: (Double -> Double) -> (Double -> Double) 
der f 
    | f == exp = exp 
    | otherwise = undefined 

ale Haskell nie obsługuje == na Double -> Double wartości. Czy to, co próbuję zrobić w Haskellu, jest niemożliwe?

Answer 1

Tak, to, co próbujesz zrobić, jest niemożliwe w Haskell i ogólnie: decyzja, czy dwie funkcje są równe dla wszystkich możliwych danych wejściowych (bez sprawdzania każdej wartości wejściowej, jeśli jest to nawet możliwe) jest równoważna rozwiązaniu Problem zatrzymania.

Jednak w twoim konkretnym przypadku możesz obejść go, używając niestandardowego typu, który symuluje Double (tzn. Ma te same instancje, i może być używany zamiast tego), ale zamiast oceniać na liczbę, konstruuje abstrakcyjną reprezentację operacji wykonywanych przez funkcje. Expr reprezentuje prawą stronę definicji funkcji matematycznej f(x) = ....

data Expr = X | Const Double | 
      Add Expr Expr | Mult Expr Expr | 
      Negate Expr | Inverse Expr | 
      Exp Expr | Log Expr | Sin Expr | ... 
     deriving (Show, Eq) 

instance Num Expr where 
    (+) = Add 
    (*) = Mult 
    ... 
instance Fractional Expr where 
    recip = Inverse 
    ... 
instance Floating Expr where 
    pi = Const pi 
    exp = Exp 
    log = Log 
    sin = Sin 
    ... 

Następnie można zdefiniować funkcje konwersji, które przekształcają między funkcjami i Expr s:

fromFunction :: Floating a => (a -> a) -> Expr 
fromFunction f = f X 

toFunction :: Expr -> (Double -> Double) 
toFunction X = \x -> x 
toFunction (Const a) = const a 
toFunction (Plus a b) = \x -> (toFunction a x) + (toFunction b x) 
... 

Można również zdefiniować funkcję diff :: Expr -> Expr że różnicuje wyrażenie:

diff X = Const 1 
diff (Const _) = Const 0 
diff (Plus a b) = Plus (diff a) (diff b) 
diff (Exp a) = Mult (diff a) (Exp a) 
... 

posiadające wszystkie te części powinny oznaczać, że można rozróżnić (niektóre) funkcje, np

f x = sin x + cos x * exp x 
f' = toFunction . diff . fromFunction $ f 

Ostrzeżenia:

• to nie będzie działać w ogóle,
• definiowania kompletnego Eq instancję dla Expr jest trudne (jest to równoznaczne z wstrzymaniem problemu, ponieważ jest w zasadzie pytanie, czy dwie funkcje są równe),
• Nie przetestowałem żadnego z tych kodów,
• the differentiati on i rekonstrukcja są wykonywane w czasie wykonywania, więc wynikowa funkcja z dużym prawdopodobieństwem będzie bardzo powolna.

Answer 2

Generalnie niemożliwe jest testowanie funkcji pod kątem równości, ponieważ równość funkcji powinna być ekstensjonalna, tj. Dwie funkcje są równe, jeśli dają takie same wyniki dla wszystkich argumentów.

Istnieją jednak inne sposoby definiowania pochodnych w Haskell, które używają różnych typów. Na przykład: Automatic Differentiation, simpler version of AD.