Ciekawi mnie nieskończona liczba komputerów, w szczególności pi.Pi/Infinite Numbers
Aby komputer mógł renderować okrąg, musiałby rozumieć pi. Ale jak to możliwe, jeśli jest nieskończona?
Czy za dużo w tym szukam? Czy po prostu użyłby zaokrąglonej wartości?
Matematycznie, komputery są zarówno skończone, jak i nieciągłe i dlatego nie mogą całkowicie poznać PI, ani poprawnie renderować koła.
Jednak w rzeczywistości cyfrowej żadne z nich nie istnieje, więc wystarczy zbliżyć się do PI, a następnie użyć tego do przybliżonego renderowania okręgu, dając dokładnie takie same piksele, które i tak zostałyby obliczone z dokładnego PI.
Tak czy inaczej, otrzymane piksele nie są również kręgi, ponieważ są skończoną kolekcją punktów cyfrowych, a okrąg to krzywa złożona z nieskończonej liczby punktów, w większości o wartościach nieracjonalnych.
(Podkreślono mi, że PI nie jest zwykle używana do wykreślania okręgu, co jest prawdą, jednak metody użyte do wykreślenia okręgu odnoszą się do formuł używanych do wyrażania i/lub obliczania wartości PI, które wciąż mają te same problemy).
Chciałbym wiedzieć, po co losuje się losowanie w dół? Jeśli coś jest nie tak z moją odpowiedzią, proszę powiedz mi. Ale AFAIK, to jest dokładnie poprawna, zarówno matematyczna, jak i wrtowa teoria obliczeń. – RBarryYoung
+1 Logika działa tam, gdzie nie udaje się matematyka. – WolfmanDragon
Rzeczywiście, jest to doskonałe wyjaśnienie wysokiego poziomu. To, co sprawia, że jest tak dobra, to fakt, że nie odnosi się tylko do kręgów, ale jest skuteczny i uniwersalny. –
Podanie przybliżone jest na ogół wystarczające. Aby "renderować" okrąg, komputer musi jedynie rozumieć pi na tyle dobrze, aby był dokładnie renderowany w jakiejkolwiek rozdzielczości (skończonej).
Edycja: jak zauważyli inni, do renderowania okręgu nie potrzeba nawet pi. Mimo to sedno pytania brzmiało: "jak komputery radzą sobie z liczbami takimi jak pi?" Używają przybliżenia, a ktokolwiek używa tych przybliżeń, musi zdecydować, czy są one wystarczająco precyzyjne dla danego celu.
Aby renderować okrąg, zwykle nie używamy w ogóle pi. – Nosredna
Komputery używają jedynie dobrego przybliżenia liczby pi.
Z artykułu MSDN w sprawie System.Math.PI
Wartość tego pola jest +3,14159265358979323846.
BTW: PI NIE jest nieskończona. Jest nieracjonalny, co oznacza, że ma nieskończoną liczbę nie powtarzających się miejsc dziesiętnych. Istnieje kilka wyrażeń dla PI, które są bardzo krótkie. (Patrz Wikipedia page więcej szczegółów)
Tu jest cudownie krótkie wyrażenie PI:
PI nie ma powtarzających się wzorów dziesiętnych, ponieważ jest transcendentalny, co oznacza, że nie tylko jest nieracjonalny (nie może być wyrażony jako ułamek dwóch liczb całkowitych), ale także nie jest algebraiczny (nie jest rozwiązaniem żadnego racjonalnego równania wielomianowego) . – spatz
Nie powtarzam. Ma nieskończoną liczbę * niezerowych * cyfr dziesiętnych, ale one się nie powtarzają. (Zobacz komentarze do pytania na temat debaty na temat tego, co tak naprawdę nazywa się) –
doh! pisanie "powtarzania" było całkowitą literówką. Naprawiono teraz jako "nie powtarzający się". – abelenky
wierzę, że zaokrągla go do bardzo niewielkiej liczbie, i to najprawdopodobniej stała. Jeśli używasz PHP, to w jaki sposób PI renderuje:
echo pi(); // 3.1415926535898 echo M_PI; // 3.1415926535898
Podobnie jak trzeba tylko 3.14159 w liceum, komputery tylko tyle potrzeba, aby to dość dokładne.
17 cyfr dziesiętnych dotyczy wszystkiego, co możesz reprezentować. –
Komputery używają właśnie zaokrąglonych wartości pi, o ile nie ma oczywiście specjalnego przypadku, takiego jak obliczenia naukowe. Na przykład, w python pi jest reprezentowany jako:
>>> import math
>>> math.pi
3.1415926535897931
Można to sprawdzić dla siebie w stanie spoczynku, pytony interaktywny interpreter.
Interesujące: C# zgłasza wartość jako 3.14159265358979323846. Zwróć uwagę na cyfry: 97931 vs. 97932 To wygląda mi na coś więcej niż błąd zaokrąglania. – abelenky
Tylko około 17 cyfr jest znaczących. Ostatnia cyfra to niewiele więcej niż hałas pochodzący z algorytmu konwersji binarnej na dziesiętną platformy. –
Przybliżenie jest często "wystarczająco dobre", niezależnie od tego, czy otrzymujesz je za pomocą metody z this site lub another one.
"Renderowanie" to już inna sprawa. Kiedy masz skończoną rozdzielczość ekranu, idealna wartość π nie ma znaczenia.
AKTUALIZACJA: Obliczenia mogą być inną sprawą, inną niż renderowanie. Niektóre aplikacje mogą wymagać większej precyzji niż standardowe podwójne. To zależy od problemu.
Języki programowania używają zaokrąglonej stałej dla pi i podobnych liczb "nieskończonych".
Aby uzyskać wyższą precyzję, należy użyć iteracyjnych algorytmów zapętlanych tak długo, jak to jest wymagane.
A to - nie rysowanie kół - było istotą tego pytania. – HenryRootTwo
Nie potrzebujesz wcale PI do narysowania okręgu. Istnieje wiele sposobów na narysowanie koła. Naiwna droga to sinus i cosinus.
Algorytm, który widziałem najczęściej na maszynach 8-bitowych, to Bresenham's circle. Do tego nie potrzebujesz nawet matematyki zmiennoprzecinkowej.
Sin() i Cos() są zwykle obliczane za pomocą PI lub z ** e ** lub z tabel wartości, które same zostały obliczone przy użyciu jednego z nich. Tak, są sposoby, ale najprostsze metody zwykle używają PI. – RBarryYoung
Sinus i cosinus są powiązane z liczbami e, pi i urojonymi, ale nie zgadzam się z tym, że to jest typowe, że są one obliczane na podstawie dowolnego z nich lub z tabel reprezentujących te. Powiedziałbym, że typowe dla Sine i Cosine są obliczane przez rozszerzenie serii, które szybko się konwerguje. Ale język C nie mówi, jak należy je obliczyć. Możesz znaleźć rozszerzenia Taylora, które obliczają okrągłe funkcje bez odniesienia do pi lub e.Chociaż, jak już powiedziałem, wszystkie te podmioty są ze sobą powiązane. – Nosredna
Moje przeprosiny, masz rację Nosredna. Z mojego punktu widzenia zdaje się, że zapomniałem, jak powstają Taylor series i in. – RBarryYoung
Pi nie jest nieskończone, jest irracjonalne, co oznacza, że nie można go wyrazić jako ilorazu. Ma nieskończoną liczbę cyfr. http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_π_is_irrational
Informacje o informatyce znajdują się tutaj. http://en.wikipedia.org/wiki/Computing_π
Ładna strona jest również to http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/
Gdzieś widziałem dowód, że aby narysować okrąg wokół wszechświata z milimetrową dokładnością, że trzeba mniej niż 100 cyfr liczby pi, innymi słowy, daleko mniej cyfr niż zostało obliczonych przez ludzi z zbyt dużą ilością czasu na ręce (lub zbyt dużą moc obliczeniową ...). Teraz, gdybym tylko mógł znaleźć ten dowód ... (edycja) found it
Tak, ale co, jeśli chcesz to antialias? – Nosredna
Właściwie to nie używałby wartości Pi do rysowania kółek w ogóle. Równanie opisujące koło to 'x^2 + y^2 = R^2' - bez wzmianki o Pi, jak widać. Aby uzyskać więcej informacji na temat tego, jak jest to skutecznie realizowane, zobacz http://en.wikipedia.org/wiki/Midpoint_circle_algorithm –
Przy okazji, pi nie jest nieskończony. Właściwe słowo to "nie kończące się" (myślę). –
Słowo, które chcesz, jest transcendentalne. Medytujcie nad tym. –