Dlaczego średnie tłumienie w magiczny sposób przyspiesza konwergencję kalkulatorów o ustalonym punkcie?

Question

Czytam przez SICP, a autorzy przeszukują technikę średniego tłumienia w obliczaniu stałych punktów funkcji. Rozumiem, że jest to konieczne w pewnych przypadkach, np. Pierwiastek kwadratowy w celu wytłumienia oscylacji funkcji, jednak nie rozumiem, dlaczego magicznie pomaga zbieżności funkcji wyznaczania punktu stałego. Wsparcie?

edit

Oczywiście, ja uważam, że to przez nieco. Nie potrafię się skupić na tym, dlaczego uśrednienie funkcji samo w sobie przyspieszyłoby konwergencję przy wielokrotnym stosowaniu.

Answer 1

Przyspiesza tylko te funkcje, dla których powtarzające się aplikacje "przeskakują" do punktu stałego. Intuicyjnie, to jak dodanie hamulca do wahadła - zatrzyma się wcześniej za pomocą hamulca.

Ale nie każda funkcja ma tę właściwość. Rozważ f(x)=x/2. Ta funkcja będzie się szybciej zbiegała bez tłumienia średniego (kroki logarytmiczne 2 kroki w stosunku do podstawy logu (4/3)), ponieważ zbliża się do punktu stałego z jednej strony.

Answer 2

Podczas gdy nie mogę odpowiedzieć na twoje pytanie na podstawie matematycznej, spróbuję na intuicyjnym: Techniki punktu stałego potrzebują "płaskiego" wykresu funkcji wokół ich ... punktu widzenia. Oznacza to: jeśli wyświetlisz swoją funkcję fixpoint na wykresie X-Y, zobaczysz, że funkcja przekracza przekątną (+ x, + y) dokładnie przy rzeczywistym wyniku. W jednym kroku twojego algorytmu fixpoint zgadujesz wartość X, która musi znajdować się w przedziale wokół punktu przecięcia, w którym pierwsza pochodna znajduje się pomiędzy (-1 .. + 1) i przyjąć wartość Y. Y, które wziąłeś, będzie bliżej punktu przecięcia, ponieważ od zaczyna się od skrzyżowania, do którego można dotrzeć, podążając ścieżką o mniejszym nachyleniu niż +/- 1, w przeciwieństwie do poprzedniej wartości X, która została użyta, w tym sensie dokładne nachylenie -1. Teraz jest już jasne, że im mniejsze nachylenie, tym bardziej robi się w kierunku punktu przecięcia (prawdziwej wartości funkcji), gdy Y jest nowym X. Najlepsza funkcja interpolacji jest banalnie stałą, która ma nachylenie 0, co daje prawdziwa wartość w pierwszym kroku.

Przepraszam wszystkich matematyków.