Dlaczego dane wyjściowe inv() i pinv() nie są równe w Matlab i Octave?

Question

Zauważyłem, że jeśli A jest macierzą NxN i ma macierz odwrotną. Ale czym różnią się wyniki funkcji inv() i pinv(). - Moje środowisko jest Win7x64 SP1, Matlab R2012a, Cygwin Octave 3.6.4, FreeMat 4,2

Czy spojrzenie na przykładach z oktawy:

A = rand(3,3) 
A = 
0.185987 0.192125 0.046346 
0.140710 0.351007 0.236889 
0.155899 0.107302 0.300623 

pinv(A) == inv(A) 
ans = 
0 0 0 
0 0 0 
0 0 0 

• To wszystko jest takie same ans wynik uruchamiając to samo polecenie powyżej w Matlab.

---

• I obliczyć inv(A)*A lub A*inv(A), wynik jest tożsamość macierz 3x3 zarówno Octave i Matlab.
• Wynik A*pinv(A) i pinv(A)*A to macierz tożsamości 3x3 w Matlab i FreeMacie.
• Wynikiem A*pinv(A) jest macierz tożsamości 3x3 w Octave.
• Wynik pinv(A)*A jest nie tożsamość macierz 3x3 w oktawie.

---

nie wiem dlaczego inv(A) != pinv(A), Rozważałam szczegóły elementu w macierzy. Wydaje się, że problem z pływającą dokładnością powoduje ten problem.

10+ cyfry po punktowym może być różny tak:

• 6.65858991579923298331777914427220821380615200000000 element inv(A)(1,1) na

• 6.65858991579923209513935944414697587490081800000000 element pinv(A)(1,1)

Answer 1

pływający arytmetyka jest pewna precyzja, nie można polegać na równości. Aby uniknąć takich błędów, możesz spróbować pracować z symbolicznym zestawem narzędzi Matlaba.

Bardzo prosty wiersz kodu w oktawie wykazać problemy:

>>> (1/48)*48==(1/49)*49 
ans = 0 
>>> (1/48)*48-(1/49)*49 
ans = 1.1102e-16 
>>> 

Answer 2

Wydaje mi się, jak odpowiedziałeś na swoje pytanie w dolnej tutaj. Powodem jest arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Algortihms dla inv() i pinv() nie są dokładnie takie same, ponieważ pinv() musi być w stanie obsłużyć macierze inne niż kwadratowe. Dlatego odpowiedzi nie będą dokładnie takie same.

Jeśli spojrzysz na wartość pinv(A)*A, zobaczysz, że jest bardzo bardzo blisko macierzy tożsamości.

uzyskać:

ans = 

    1.0000e+00 6.1062e-16 -3.0809e-15 
    -5.8877e-15 1.0000e+00 6.3942e-15 
    2.4425e-15 -3.0184e-16 1.0000e+00 

Zamiast porównywać macierze z == użyć < tolerance_limit

c = A*pinv(A); 
d = pinv(A)*A; 

(c-d) < 1e-10 

Sidenote:

x = A^-1*b nie powinny być rozwiązywane x = inv(A)*b;, ale raczej x = A \ b; Zobacz the link Shai posted dla wyjaśnienia.

Answer 3

To pytanie jest dość stare, ale mimo to odpowiem na nie, ponieważ pojawia się prawie na górze w niektórych wyszukiwaniach w Google.

Użyję dla mojego przykładu magicznej (N) funkcji, która zwraca magiczny kwadrat N-by-N.

będę stworzyć magiczny kwadrat 3x3 M3, podejmują pseudoinverse PI_M3 i pomnożyć je:

 prompt_$ M3 = magic(3) , PI_M3 = pinv(M3) , M3 * PI_M3

 
    M3 = 

    8 1 6 
    3 5 7 
    4 9 2 

    PI_M3 = 

    0.147222 -0.144444 0.063889 
    -0.061111 0.022222 0.105556 
    -0.019444 0.188889 -0.102778 

    ans = 

    1.0000e+00 -1.2212e-14 6.3283e-15 
    5.5511e-17 1.0000e+00 -2.2204e-16 
    -5.9952e-15 1.2268e-14 1.0000e+00 

Jak widać odpowiedź jest macierzą jednostkową za wyjątkiem niektórych błędów zaokrągleń. będę powtórzyć operację z magicznym kwadracie 4x4:

 prompt_$ M4 = magic(4) , PI_M4 = pinv(M4) , M4 * PI_M4

 
    M4 = 

    16 2 3 13 
     5 11 10 8 
     9 7 6 12 
     4 14 15 1 

    PI_M4 = 

    0.1011029 -0.0738971 -0.0613971 0.0636029 
    -0.0363971 0.0386029 0.0261029 0.0011029 
    0.0136029 -0.0113971 -0.0238971 0.0511029 
    -0.0488971 0.0761029 0.0886029 -0.0863971 

    ans = 

    0.950000 -0.150000 0.150000 0.050000 
    -0.150000 0.550000 0.450000 0.150000 
    0.150000 0.450000 0.550000 -0.150000 
    0.050000 0.150000 -0.150000 0.950000 

Wynik nie jest macierzą jednostkową, to znaczy, że kwadrat 4x4 magia nie ma odwrotność. mogę to sprawdzić próbując jednego z regułami pseudoinverse Moore-Penrose'a:

 prompt_$ M4 * PI_M4 * M4

 
ans = 

    16.00000 2.00000 3.00000 13.00000 
    5.00000 11.00000 10.00000 8.00000 
    9.00000 7.00000 6.00000 12.00000 
    4.00000 14.00000 15.00000 1.00000 

Reguła A * B * A = A jest spełnione. To pokazuje, że pinv zwraca macierz odwrotną, gdy jest dostępna, i pseudo-odwrotność, gdy odwrotność nie jest dostępna. Z tego powodu w niektórych sytuacjach uzyskujesz niewielką różnicę, tylko niektóre błędy zaokrągleń, aw innych sytuacjach masz większą różnicę. Aby pokazać go dostanę odwrotność obu magicznych kwadrantach i odjąć je od pseudoinverse [? Dlaczego jest inv MATLAB jest powolne i niedokładne]

 prompt_$ I_M3 = inv(M3) , I_M4 = inv(M4) , DIFF_M3 = PI_M3 - I_M3, DIFF_M4 = PI_M4 - I_M4

 
    I_M3 = 

    0.147222 -0.144444 0.063889 
    -0.061111 0.022222 0.105556 
    -0.019444 0.188889 -0.102778 

    warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = 1.30614e-17 
    I_M4 = 

    9.3825e+13 2.8147e+14 -2.8147e+14 -9.3825e+13 
    2.8147e+14 8.4442e+14 -8.4442e+14 -2.8147e+14 
    -2.8147e+14 -8.4442e+14 8.4442e+14 2.8147e+14 
    -9.3825e+13 -2.8147e+14 2.8147e+14 9.3825e+13 

    DIFF_M3 = 

    4.7184e-16 -1.0270e-15 5.5511e-16 
    -9.9226e-16 2.0470e-15 -1.0825e-15 
    5.2042e-16 -1.0270e-15 4.9960e-16 

    DIFF_M4 = 

    -9.3825e+13 -2.8147e+14 2.8147e+14 9.3825e+13 
    -2.8147e+14 -8.4442e+14 8.4442e+14 2.8147e+14 
    2.8147e+14 8.4442e+14 -8.4442e+14 -2.8147e+14 
    9.3825e+13 2.8147e+14 -2.8147e+14 -9.3825e+13